🧮 Complex Numbers (Manual + ClassWiz)

Ringkasan
Topik SPM: Bentuk Rectangular ↔ Polar, Magnitud, Argumen, Konjugat

Guna MODE → CMPLX di ClassWiz untuk menukar bentuk, mencari magnitud & argumen, dan mengira operasi kompleks. TETAPI kekalkan langkah manual di skrip jawapan untuk markah kaedah.

1) Rectangular → Polar

🎯 Soalan

Tukarkan \( z = 3 + 4i \) kepada bentuk polar \( r\text{cis}\,\theta \).

✏️ Manual

r = |z| = √(3² + 4²) = 5 θ = arg(z) = tan⁻¹(4/3) ≈ 53.130° Maka z = 5 cis 53.130° (atau z = 5(\cos 53.130° + i\sin 53.130°))

⚙️ ClassWiz (MODE → CMPLX)

  1. MODE → 2: CMPLX (pilih DEG untuk sudut darjah)
  2. Taip: 3 + 4 i → =
  3. SHIFT → 2(COMPLEX):
    • Abs (magnitud) → 5
    • Arg (argumen) → 53.130…°
    • Re/ Im untuk bahagian nyata/khayal
Sesetengah model ada paparan “\(r∠θ\)”. Jika tiada, gunakan Abs dan Arg untuk bina \(r\) & \(θ\).

2) Polar → Rectangular

🎯 Soalan

Jika \( z = 10 \text{cis}\, 30^\circ \), nyatakan dalam bentuk \(a + bi\).

✏️ Manual

z = r(\cos θ + i\sin θ) = 10(\cos 30° + i\sin 30°) = 10(√3/2 + i·1/2) = 5√3 + 5i

⚙️ ClassWiz

  1. Pastikan DEG.
  2. Taip: 10 × ( cos 30° + i sin 30° ) → =
  3. Paparan: \(5\sqrt{3} + 5i\) (atau bentuk perpuluhan pada model tertentu).

3) Konjugat & Operasi Asas

🎯 Soalan

(a) Cari konjugat \( \overline{z} \) bagi \( z = 2 - 5i \).
(b) Cari \( (3 + 2i) + (1 - 7i) \).
(c) Cari \( \dfrac{4 + i}{1 - 2i} \) dalam bentuk \(a + bi\).

✏️ Manual

(a) ȳ = 2 + 5i (b) (3 + 2i) + (1 − 7i) = 4 − 5i (c) (4 + i)/(1 − 2i) × (1 + 2i)/(1 + 2i) = ( (4 + i)(1 + 2i) ) / (1 + 4) = (4 + 8i + i + 2i²) / 5 = (4 + 9i − 2)/5 = (2 + 9i)/5 = 0.4 + 1.8i

⚙️ ClassWiz

  1. Mode CMPLX.
  2. Taip terus ungkapan, cth:
    (4 + i) ÷ (1 − 2i) =
  3. Untuk konjugat: SHIFT → 2(COMPLEX) → Conjg(z).

4) Darab/ Bahagi dalam Bentuk Polar (Pengesahan)

🎯 Soalan

Diberi \( z_1 = 5\,\text{cis}\,40^\circ \) dan \( z_2 = 3\,\text{cis}\,25^\circ \).

  • (a) Cari \( z_1 z_2 \) dalam bentuk polar.
  • (b) Sahkan bahawa \( z_1 z_2 = r_1 r_2\,\text{cis}(\theta_1 + \theta_2) \).
  • (c) Cari \( \dfrac{z_1}{z_2} \) dalam bentuk polar.

✏️ Manual

(a) z₁z₂ = (5×3) cis(40° + 25°) = 15 cis 65° (b) Bentuk polar mematuhi: r₁r₂ cis(θ₁+θ₂) ✔ (c) z₁/z₂ = (5/3) cis(40° − 25°) = (5/3) cis 15°

⚙️ ClassWiz

  1. DEG + CMPLX.
  2. Taip menggunakan bentuk Euler/cis:
    (5 × (cos40° + i sin40°)) × (3 × (cos25° + i sin25°)) =
  3. Guna Abs dan Arg pada hasil untuk baca \(r\) dan \(\theta\), sahkan \(r=15\), \(\theta≈65^\circ\).
  4. Untuk bahagi, gunakan `/` dan sahkan dengan Abs/Arg.
Ada model yang menyokong terus `r∠θ`. Jika tiada, guna Abs/Arg selepas kiraan.

5) Argumen Prinsip & Kuadran

🎯 Soalan

Tentukan argumen prinsip bagi \( z = -3 + 3\sqrt{3}\,i \).

✏️ Manual

θ = tan⁻¹( (3√3)/(-3) ) = tan⁻¹( −√3 ) Titik berada di Kuadran II (x negatif, y positif) Argumen prinsip: 180° − 60° = 120°

⚙️ ClassWiz

  1. CMPLX + DEG.
  2. Taip −3 + 3√3 i → =
  3. SHIFT → 2 → Arg untuk dapat 120°.
Jika gunakan `tan⁻¹(y/x)` mentah-mentah, pastikan pembetulan kuadran dibuat secara manual.

🧾 Ringkasan Fungsi CMPLX (ClassWiz)

Butang Utama

MODE → 2: CMPLX SHIFT → 2 (COMPLEX) → Abs(z), Arg(z), Re(z), Im(z), Conjg(z) Masukkan i dengan butang i (ENG di beberapa model: SHIFT+i) Pastikan DEG/RAD konsisten dengan soalan (biasanya DEG untuk SPM).

Strategi Peperiksaan

• Tulis langkah manual (r, θ, konjugat, penukaran bentuk) untuk markah kaedah. • Semak cepat dengan Abs & Arg di kalkulator. • Untuk darab/bahagi, gunakan bentuk polar (jumlah/tolak sudut, darab/bahagi magnitud). • Beri perhatian pada kuadran semasa mencari argumen.