Topik SPM: Fungsi, Songsangan & Gubahan
Nota ini menunjukkan langkah manual (markah kaedah) dan cara guna Casio ClassWiz untuk bantu pengiraan / semakan (TABLE & COMP/CALC).
1) Songsangan Fungsi (Inverse)
🎯 Soalan
Diberi f(x) = 2x + 3.
- Cari f−1(x).
- Sahkan f(f−1(x)) = x.
- Kira f−1(7).
✏️ Penyelesaian Manual
(a) Cari songsangan:
Let y = f(x) = 2x + 3
Tukar x ↔ y ⇒ x = 2y + 3
Selesai untuk y:
2y = x − 3
y = (x − 3)/2
Jadi f⁻¹(x) = (x − 3)/2
(b) Sahkan komposisi:
f(f⁻¹(x)) = 2[(x − 3)/2] + 3
= (x − 3) + 3
= x ✔
(c) Nilai khusus:
f⁻¹(7) = (7 − 3)/2 = 4/2 = 2
Tuliskan langkah algebra (tukar x↔y, selesaikan y) untuk markah kaedah.
⚙️ Bantuan Kalkulator (ClassWiz)
Cara A — TABLE: Semak Songsangan
- MODE → 3 (TABLE)
- Masukkan 2x + 3 sebagai f(x)
- Set julat: Start = 1, End = 5, Step = 1
| x | f(x) |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
Dari jadual: f(2)=7 ⇒ f⁻¹(7)=2.
Cara B — COMP/CALC: Gantian Terus
- MODE → 1 (COMP)
- Kira f⁻¹(7) terus: (7 − 3) ÷ 2 = 2
Ingat: kalkulator tidak “ubah balik” fungsi secara simbolik; ia bantu semak nilai dan gantian dengan cepat.
2) Fungsi Gubahan (Composition)
🎯 Soalan
Diberi f(x) = 2x + 3 dan g(x) = x². Cari f(g(2)) dan g(f(2)).
✏️ Penyelesaian Manual
g(2) = 2² = 4
f(g(2)) = f(4) = 2(4) + 3 = 11
f(2) = 2(2) + 3 = 7
g(f(2)) = g(7) = 7² = 49
Susun “dalam → luar”: kira g(2) dahulu, kemudian f( hasil g(2) ).
⚙️ Bantuan Kalkulator (TABLE — Dua Lajur)
- MODE → 3 (TABLE)
- Pada model EX/CW, masukkan dua fungsi untuk dua lajur:
Y1: 2x + 3
Y2: x^2 - Set julat Start=1, End=5, Step=1
Baca cepat: Y2(2)=4 kemudian lihat Y1(4)=11 ⇒ f(g(2))=11. Dan Y1(2)=7, Y2(7)=49 ⇒ g(f(2))=49.
COMP/CALC (alternatif pantas)
2(2) + 3 = 7 ⇒ 7^2 = 49
2( 2^2 ) + 3 = 11
🧾 Ringkasan Formula & Langkah
Manual
Inverse:
1) Let y = f(x)
2) Tukar x ↔ y
3) Selesaikan y ⇒ f⁻¹(x)
Verify: f(f⁻¹(x)) mesti = x
Composition: f(g(x)) ⇒ kira g(x) dahulu, kemudian gantikan ke f(·)
ClassWiz
TABLE:
- Masukkan f(x), set Start/End/Step
- Cari pasangan (x, f(x)) untuk semak songsangan & gubahan
COMP/CALC:
- Kira nilai khusus dengan cepat (cth f⁻¹(7) = (7−3)/2)
Strategi peperiksaan: Tunjuk algebra penuh untuk markah, gunakan ClassWiz untuk semak nilai & elak silap kiraan.