Fokus: nCr / nPr • Conditional • Binomial • Expected Value
Guna ClassWiz mengikut keperluan: RUN-MAT untuk operasi asas, CALC bagi nCr/nPr, TABLE untuk menjana nilai taburan, dan STAT untuk purata jangkaan.
1) Permutasi & Kombinasi
🎯 Soalan
- (a) Berapakah bilangan cara memilih 3 pelajar daripada 10?
- (b) Berapakah bilangan susunan 2 daripada 5 murid?
✏️ Manual
(a) \(^ {10}C_3 = \dfrac{10!}{3!\,7!} = 120\)
(b) \(^ {5}P_2 = \dfrac{5!}{(5-2)!} = 20\)
⚙️ ClassWiz (CALC / COMP)
MODE → 1 (COMP) nCr = SHIFT + ÷ nPr = SHIFT + ×
10 nCr 3 = → 120
5 nPr 2 = → 20
Gunakan ini dalam soalan binomial & pengiraan bilangan kes.
2) Kebarangkalian Bersyarat & Bebas
🎯 Soalan
Diberi \(P(A)=0.6\) dan \(P(B\mid A)=0.5\).
- (a) Cari \(P(A\cap B)\).
- (b) Jika \(P(B)=0.4\), adakah \(A\) dan \(B\) bebas?
✏️ Manual
(a) P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = 0.6×0.5 = 0.3
(b) A dan B bebas jika P(A∩B) = P(A)P(B)
P(A)P(B) = 0.6×0.4 = 0.24 ≠ 0.3 → Tidak bebas
⚙️ ClassWiz (RUN-MAT)
Taip sahaja pendaraban/pecahan:
0.6 × 0.5 = 0.3
0.6 × 0.4 = 0.24
Untuk soalan panjang (pokok kebarangkalian), kira setiap dahan dengan kaedah yang sama.
3) Taburan Binomial \(X\sim\mathrm{Bin}(n,p)\)
🎯 Soalan
\(X\sim\text{Bin}(n=6,p=0.3)\).
- (a) Kira \(P(X=2)\).
- (b) Kira \(P(X\ge 2)\).
- (c) Cari min \(E[X]\) dan varians \(\mathrm{Var}(X)\).
✏️ Manual
(a) P(X=2) = {6C2}(0.3)^2(0.7)^4
= 15 × 0.09 × 0.2401 = 0.324135
(b) P(X≥2) = 1 − [P(0) + P(1)]
= 1 − [ {6C0}(0.7)^6 + {6C1}(0.3)(0.7)^5 ]
= 1 − [ 0.117649 + 6×0.3×0.16807 ]
= 1 − [ 0.117649 + 0.302526 ] = 0.579825
(c) E[X] = np = 6(0.3) = 1.8
Var(X) = np(1−p) = 6(0.3)(0.7) = 1.26
⚙️ ClassWiz (2 cara)
A — CALC (cepat):
6 nCr 2 × 0.3^2 × 0.7^4 = 0.324135 ← P(X=2)
1 − [ 0.7^6 + 6×0.3×0.7^5 ] = 0.579825 ← P(X≥2)
B — TABLE (jana semua P(X)):
- MODE → 3 (TABLE)
- Masukkan
Y1: nCr(6,x)×0.3^x×0.7^(6−x) - Set Start=0, End=6, Step=1
- Baca terus semua \(P(X=k)\). Untuk \(P(X\ge 2)\), jumlahkan baris k≥2.
ClassWiz tidak menjumlah automatik; gunakan kalkulator biasa untuk tambah nilai \(k=2..6\) atau guna 1 − [P(0)+P(1)].
Min & Varians (rujukan pantas)
E[X] = np, Var(X) = np(1−p)
4) Expected Value daripada Taburan Diskret
🎯 Jadual
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(x) | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.2 |
✏️ Manual
E[X] = Σ xP(x) = 0×0.1 + 1×0.3 + 2×0.4 + 3×0.2 = 1.7
Var(X) = Σ x²P(x) − (E[X])²
= (0²×0.1 + 1²×0.3 + 2²×0.4 + 3²×0.2) − 1.7²
= (0 + 0.3 + 1.6 + 1.8) − 2.89
= 1.81 − 2.89 = −1.08 (Salah? semak!)
Nota: Guna formula betul — ambil Σ(x−μ)²P(x) atau Σx²P(x) − μ² dengan tepat:
Σx²P(x) = 0 + 0.3 + 1.6 + 1.8 = 3.7
Var(X) = 3.7 − (1.7)² = 3.7 − 2.89 = 0.81
SD = √0.81 = 0.9
⚙️ ClassWiz (STAT)
- MODE → 6: STAT → 1:1-Var
- Aktifkan frekuensi: SHIFT → SETUP → STAT → On
- Lajur X: masukkan 0, 1, 2, 3
- Lajur FREQ: masukkan 0.1, 0.3, 0.4, 0.2
- OPTN → 3:1-Var Calc
- Baca: \(\bar{x}=E[X]=1.7\), \(\sigma_x=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}=0.9\)
STAT menerima frekuensi bukan integer (probabiliti). Anda juga dapat \(\Sigma x\), \(\Sigma x^2\) jika perlu tulis kerja manual.
🧾 Ringkasan Butang & Strategi
Butang ClassWiz
RUN-MAT: operasi pecahan & pendaraban kebarangkalian
CALC/COMP: nCr → SHIFT+÷, nPr → SHIFT+×
TABLE: jana Y1 = nCr(n,x)p^x(1−p)^(n−x) bagi x=0..n
STAT: 1-Var + Frequency=On → E[X], SD dari jadual P(x)
Strategi Peperiksaan
• Tunjukkan formula (cth. nCr, binomial, conditional) untuk markah kaedah.
• Guna kalkulator untuk nilai numerik & semakan cepat.
• Untuk P(X≥k), gunakan 1 − Σ_{j